Cet exposé présente un invariant de conjugaison sur les pavages multidimensionnels, le groupe fondamental projectif, en rapprochant la définition d'objets plus classiques en mathématiques. On y détaille ensuite une construction permettant de montrer qu'une classe naturelle de pavages du plan, les sous-décalages de type fini, permet de réaliser une large classe de groupes comme leurs "groupes fondamentaux".

Dans cet exposé, on rappelle et motive la définition du groupe fondamental d'un espace topologique quelconque. On montre ensuite comment cet objet se comprend et se manipule dans les cas des graphes, et comment la notion de revêtement universel intervient dans ce cadre. On introduit ensuite une classe de sous-décalages du plan, les Hom-Shifts, définis à l'aide de graphes, et on montre comment le groupe fondamental de ces sous-décalages se déduit de ce graphe.

Cet exposé ne présente pas de nouveaux résultats, mais essaye de montrer les liens entre des problèmes usuels de dynamique symbolique, et l'étude plus "mathématique" d'un invariant appelé "groupe plein topologique". En particulier, on rappelle des résultats classiques obtenus sur cet objet, illustrés par des exemples dans le cas particulier des pavages, et on essaye de donner l'idée des techniques de preuve utilisées pour obtenir ces résultats.

Un résultat classique dans l'étude des langages formels est le théorème de Myhill-Nerode, qui donne des conditions nécessaires et suffisantes en terme de langages résiduels pour qu'un langage soit régulier. Dans cet exposé, on essaiera de montrer comment cet outil a été adapté à l'étude des espaces de pavages, où les configurations ne sont plus des mots finis mais des coloriages multidimensionnels infinis. En particulier, on étudiera l'entropie d'extension, introduite par R.Pavlov et T.French, qui représente le taux de croissance de l'équivalent des langages résiduels. On donnera plusieurs caractérisations obtenues sur cette entropie grâce à la théorie de la calculabitlité, sur plusieurs classes de pavages mono- et multidimensionnels.