Intérêts

Je m'intéresse aux liens entre la dynamique symbolique (automates cellulaires, pavages discrets …), la théorie de la calculabilité et/ou la théorie des groupes. Plus précisément:

  • Une approche combinatoire de la topologie algébrique des pavages: groupe fondamental projectif, cocycle fondamental, cohomologie des Hom shifts.
  • Des restrictions calculatoires sur des invariants de conjugaison: entropies, points périodiques …
  • Une étude des pavages substitutifs sur des structures discrètes: groupes, graphes, structures auto-similaires …

Publications

Liste de publications disponible ici.

Thèse

Manuscrit

Le manuscrit de ma thèse, intitulée Indécidabilité des invariants géométriques dans les pavages, est disponible ici (en anglais). Il s'agit d'une version susceptible d'être légèrement modifiée, toute modification substantielle par rapport au manuscrit initial étant mentionnée dans le document même.

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude des sous-décalages, et en particulier leurs propriétés calculatoires. De façon générale, un sous-décalage est défini par un ensemble fini de symboles, un ensemble de règles spécifiant les agencements valides et invalides de ces symboles, et un espace ambiant que l'on cherche à paver: une configuration valide consiste alors en un agencement de ces symboles couvrant l'espace entier et respectant toutes les contraintes. Le sous-décalage est alors défini comme l'ensemble de toutes les configurations valides. Dans le cas le plus simple, ces règles interdisent simplement à certains symboles d'être placés côte-à-côte, et sont donc en nombre fini. Cependant, même dans ce cas restreint, les pavages de \(\mathbb{Z}^{d}\) pour \(d > 1\) sont étonnament complexes, cette complexité se manifestant sous plusieurs aspects étudiés dans cette thèse.

Cette thèse est divisée en trois chapitres essentiellement indépendants, précédés d'une introduction générale aux différents objets étudiés. Dans un premier temps, nous étudierons l'entropie d'extension des pavages de \(\mathbb{Z}^{d}\), un nombre réel associé à un sous-décalage qui quantifie le nombre de motifs qui peuvent être librement interchangés dans n'importe quelle configuration valide. Nous montrerons que les entropies d'extension possibles sont caractérisées par des restrictions calculatoires, et correspondent exactement à des niveaux de la hiérarchie arithmétique, le niveau exact dépendant de la classe de sous-décalages considérée. Dans un second chapitre, nous nous intéresserons au Groupe Fondamental Projectif des pavages du plan \(\mathbb{Z}^{2}\). Il s'agit d'un groupe associé à certains sous-décalages, qui permet de classifier les obstructions possibles qu'ont certaines configurations partielles ne pouvant être étendues en configurations valides sur tout l'espace. Nous montrerons là aussi que des classes simples de pavages, notamment les sous-décalages de type fini, peuvent exhiber un comportement complexe, et en particulier peuvent avoir comme groupe fondamental n'importe quel groupe finiment présenté. Enfin, nous étudierons dans un troisième chapitre les sous-décalages substitutifs, dans le contexte particulier des graphes. Nous proposerons une définition de graphe substitutif, et de sous-décalage substitutif défini sur ces graphes, et montrerons qu'une large classe de ces sous-décalages peuvent être obtenus à l'aide d'un nombre fini de règles locales. Ce résultat généralise partiellement un résultat classique de Mozes, dans un cadre plus combinatoire et moins géométrique.

Jury

Marie-Pierre Béal PU Université Gustave Eiffel Rapporteuse
Julien Cervelle PU Université Paris 12 Val-de-Marne Examinateur
Mathieu Hoyrup CR INRIA LORIA Examinateur
Nicolas Ollinger PU Université d'Orléans Président
Samuel Petite PU Université Amiens Picardie Jules Verne Examinateur
Cristóbal Rojas AP Universidad Andres Bello, Santiago Rapporteur non présent
Pascal Vanier PU Université de Caen Normandie Encadrant

Soutenance

J'ai soutenu cette thèse le 17 décembre 2024. Vous pouvez retrouver les slides de la soutenance, en français, ici.